Simplexety
Allgemeine Kurvendiskussion
Betrachtet man den Verlauf der Funktion
f(x) = -1/2* x^3 + 5* x^2 - 14x + 9
im Intervall:
x # [-2.000; 8.000]
so kann die Funktion durch die folgenden Eigenschaften und charakteristischen Punkte beschrieben werden:
a) Ableitungen der Funktion
Zuerst werden alle notwendigen Ableitungen der Funktion gebildet:
> f'(x) = 3*(-1)/2*x^2+10*x-14
> f''(x) = 6*(-1)/2*x+10
> f'''(x) = -6/2
Hinweis: Simplexety kann derzeit leider noch nicht kürzen, was natürlich wünschenswert wäre.
b) Lokale Extrema (Minimum und Maximum)
Um eine geeignete Bedingung zu erhalten, betrachten wir den Verlauf der Funktion f(x) und den Verlauf der 1. und 2. Ableitungsfunktion f '(x) und f ''(x)
- Lokales Maximum: f '(x) = 0 (notwendige Bedingung) und f ''(x) < 0 (hinreichende Bedingung)
- Lokales Minimum: f '(x) = 0 (notwendige Bedingung) und f ''(x) > 0 (hinreichende Bedingung)
Daraus folgt:
f '(x) = 3*(-1)/2*x^2+10*x-14
f '(x) = 0
3*(-1)/2*x^2+10*x-14 = 0
> Nullstellen: x1=2.00 | x2=4.67
Jetzt werden die Werte der Nullstellen der ersten Ableitung nacheinander in die zweite Ableitung eingesetzt.
f ''(x) = 6*(-1)/2*x+10
f ''(x1) = f ''(2.00) = 4.00 > 0 --> Lokales Minimum
f ''(x1) = f ''(4.67) = -4.00 < 0 --> Lokales Maximum
Nach Einsetzen dieser Nullstellen in die Ursprungsfunktion betragen die Lokalen Extrema max/min bzw. Hoch- und Tiefpunkt (H/T) somit:
> T: min(2.00;-3.00)
> H: max(4.67;1.74)
c) Wendestellen
Betrachtet man den Verlauf von f(x) und f ''(x), so erkennt man, dass im Wendepunkt die 2. Ableitungsfunktion den Funktionswert Null aufweist.
- Wendepunkt: f ''(x) = 0 (notwendige Bedingung) und f '''(x) <> 0 (hinreichende Bedingung)
Somit die 2. Ableitung zu Null setzen und wenn die 3. Ableitung ungleich Null ist, dann handelt es sich um einen Wendepunkt. Ob es sich beim Wendepunkt um einen Sattelpunkt handelt, wird später über die Lage der Tangente ermittelt.
f ''(x) = 6*(-1)/2*x+10
f ''(x) = 0
6*(-1)/2*x+10 = 0
Lösung: x1=3.33
Nun werden jeweils die Werte der Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung eingesetzt.
f '''(x) = -6/2
f '''(x1) = f '''(3.33) = -3.00 <> 0 --> Wendepunkt (bzw. Sattelpunkt)
Nach Einsetzen dieser Nullstelle in die Ursprungsfunktion beträgt der Wendepunkt somit:
> WP: (3.33;-0.63)
d) Gleichung der Tangente im Wendepunkt
Für die Gleichung der Tangente f(xwp) = m xwp + b im Wendepunkt (Wendetangente) muss zuerst m (Steigung) berechnet werden:
- Es gilt: m = f '(xwp)
f '(x) = 3*(-1)/2*x^2+10*x-14
Einsetzen von xwp = 3.33 ergibt:
> m = f '(3.33) = 2.67
Umstellung auf b = f(xwp) - (m * xwp) ergibt für b:
> b = -9.52
Ergebnis: Funktionsgleichung der Wendetangente:
> f(xwp) = 2.67* xwp - 9.52
Anmerkung.: Falls m = f '(xwp) = 0 ist, so bezeichnet man den Wendepunkt als Sattelpunkt.
e) Krümmungsverhalten
Im Wendepunkt liegt entweder ein L-R- oder ein R-L-Übergang vor. Daher existieren Intervalle, auf denen der Graph der Funktion eine Links- bzw. Rechtskrümmung aufweist. Da an der Wendestelle die 2. Ableitung den Wert Null besitzt, existiert ein Intervall (I), auf dem die 3. Ableitung positiv bzw. negativ ist.
Daher gilt die Bedingung:
- L-R-Übergang: f ''(x) = 0 und f '''(x) < 0
- R-L-Übergang: f ''(x) = 0 und f '''(x) > 0
Mit den obigen Ergebnissen für den Wendepunkt gilt für die Art des Übergangs:
> f '''(3.33) = -3.00 < 0 --> L-R-Übergang
f) Nullstellen der Funktion
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse wenn die Bedingung: f(x) = 0 gilt:
f(x) = -1/2* x^3 + 5* x^2 - 14x + 9
f(x) = 0
-1/2* x^3 + 5* x^2 - 14x + 9 = 0
Lösung: